北理工在有限一般线性群代数的中心的稳定性方面取得研究成果

北理工在有限一般线性群代数的中心的稳定性方面取得研究成果

  日前,北京理工大学数学与统计学院万金奎教授在国际顶级学术期刊《AdvancesinMathematics》上发表题为“StabilityofthecentersofgroupalgebrasofGL_n(q)”的研究论文。 该论文研究了有限域Fq上的一般线性群(generallineargroup)GL_n(q)在整数环上的群代数的中心,首先证明了这些中心子代数均带有一个自然滤过(filtration),并进一步证明了这些滤过诱导的分次代数的结构常数是不依赖于n的常数,即论文题目所指的稳定性。   有限域上一般线性群也称为了A型李型有限群,而李型有限群最初在有限单群的分类中扮演着重要的角色。 同时,它们与代数群、Hecke代数有着密切的联系,在现代李理论和表示理论中占据重要的地位。 例如,A型Hecke代数可以看作为A型李型有限群的一个特殊表示的自同态代数。

李型有限群的表示理论是一个历史久远且对表示理论其他分支有着深刻影响的研究方向。

在表示论领域,国际上一大批知名学者的研究工作均集中在该研究分支,其中学者们感兴趣的最核心的研究问题是不可约表示和特征标的分类以及刻画。   研究一个有限群的不可约表示,首先要解决的问题是该有限群的共轭类,而共轭类中所有元素的和给出了该群的群代数的中心的一组基。

由此可见,研究一个有限群的群代数的中心对研究该群的表示理论有着重要的意义。 例如,Farahat-Higman最早在研究对称群的中心时给出了共轭类和对应的结构常数的具体刻画,该结果对对称群的模表示理论中的p-block的刻画起着关键性的作用。 同时,学者们也建立了Farahat-Higman的研究结果在Hilbert概型中的应用。

对于有限域上一般线性群GL_n(q),一个可逆矩阵唯一对应着一个由系数在F_q上除了多项式t之外的首项系数为1的不可约多项式f(t)参数化的一个n的多重划分,而两个可逆矩阵共轭当且仅它们对应着同一个多重划分。 因此GL_n(q)的共轭类的个数等于这些特定的多重划分的个数。

如前所述,所有共轭类和给出了GL_n(q)在整数环上的环代数的中心的一组基,值得关心的问题是这些基元素相应的结构常数跟n的依赖关系。 在GL_n(q)的情形,首先GL_n(q)可以自然地看作为GL_{n+1}(q)的子群且GL_n(q)的一个共轭类包含在GL_{n+1}(q)的共轭类中。 同时,每个F_q上的n阶可逆矩阵均为一些初等矩阵的乘积,从而可以定义一个可逆矩阵的长度,而该长度自然给出了整数环上的群代数ZGL_n(q)的中心的一个滤过。

万金奎教授和合作者通过引入modified多重划分给出了所有GL_n(q)的共轭类的不依赖于n的刻画,并证明了由上述滤过诱导的ZGL_n(q)的中心的分次代数的结构常数是不依赖于n的整数,即乘积保持长度的那些共轭类对应的常数与n无关。 同时,利用软件Sage给出的大量计算显示不保持长度的那些结构常数与q^n呈多项式的依赖关系,对此万金奎教授和合作者在上述论文中给出了相关猜想。

  这一原创性研究成果进一步增进了学者们对于GL_n(q)的中心的理解,为研究GL_n(q)的模表示理论和asymtotic表示理论奠定了基础,同时有望在几何表示论中找到应用。

值得指出的是,万金奎教授已在后续的研究中将上述研究成果应用在有限域上的仿射群,辛群和酉群中,类似地分别建立这些有限群的群代数中心的稳定性。   这项研究工作是由万金奎教授与美国弗吉尼亚大学WeiqiangWang教授(FellowofAmericanMathematicalSociety)合作完成,万金奎教授为通讯作者,本项工作得到国家自然科学基金和国家留学基金委的资助。

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